万物起源于ODE | Kangfu's Blog

微分与积分 differential and integral calculus

在微积分里面，微分用来描述某种事物变换的速度，例如曲线 $f(x)$ 在某个点 $x_0$ 斜率 $f'(x_0)$ 。而后者（积分）用来描述变换的量，例如曲线在某个范围 $x_0$ 到 $x_1$ 内的面积 $\int_{x_0}^{x_1} f(x) dx$ 。

$\Delta y$ 和 $\Delta x$ 用来表示有限的增长。莱布尼茨记号 $d x$ 是用来表示在 $x$ 上无限小的增长。例如 $y=x^2$ 可以记为 $\frac{dy}{dx} = 2x$ 。

关于一个函数本身与其导数之间的关系叫微分方程（即函数每个点的斜率组成的新的函数）。例如 $\frac{dy}{dx} = f(x)$ 是用 $f(x)$ 来描述 $y$ 对于 $x$ 的导数之间的关系。

假设我们有一组变量 $u$ 和 $x$ ，他们的关系是未知的，即 $u$ 是 $x$ 的一个未知的函数。 $c$ 和 $w$ 是一对已知的常量。我们可以构造一下的例子：

ODE	（一阶）常微分	（二阶）常微分	非线性常微分
	$\frac{du}{dx} = cu + x^2$	$\frac{d^2 u}{dx^2} - x\frac{du}{dx} = u$	$\frac{du}{dx} = u^2 + w$

对于多变量的未知函数 $u$ 取决于 $x$ 和 $t$ ，我们有：

PDE	（一阶）偏微分	（二阶）偏微分	非线性偏微分
	$\frac{\partial u}{\partial t} = t\frac{\partial u}{\partial x}$	$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}$	$\frac{\partial u}{\partial t} = u\frac{\partial u}{\partial x} - \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$